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| Miwintransitive Körper |
Beispiele intransitiver Körper:
Es gibt durch Addition einer Konstanten unendlich viele intransitive Viel-Flächer. Hier werden nur einige Beispiele gezeigt.
Die mit einem "!" - Zeichen versehenen Körper haben auf den gesammten Flächen alle Zahlen von 1 bis zur Gesammtflächenzahl!
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Bemerkung über die Gleichwertigkeit intransitiver Würfel:
Obwohl die drei intransitiven Würfel A, B und C (erstes Würfeltripel)
A |
2 | 2 |
6 | 6 | 7 | 7 |
B |
1 |
1 | 5 | 5 | 9 |
9 |
C |
3 | 3 | 4 |
4 |
8 | 8 |
P(A > B) = P(B > C) = P(C > A) = 5:4
und die drei intransitiven Würfel A', B' und C' (zweites Würfeltripel)
A' |
2 | 2 |
4 | 4 | 9 | 9 |
B' |
1 |
1 | 6 | 6 | 8 |
8 |
C' |
3 | 3 | 5 |
5 |
7 | 7 |
P(A' > B') = P(B' > C') = P(C' > A') = 5:4
jeweils mit der selben Wahrscheinlichkeit gegeneinander gewinnen, so sind sie doch nicht gleichwertig, denn
im ersten Fall (A, B, C) gibt es einen "höchsten" und im zweiten Fall (A', B', C') einen "tiefsten" Würfel.
Werden nämlich alle drei Würfel gleichzeitig gewürfelt und es wird jeweils nur der höchste gewertet, so zeigt sich,
dass im ersten Fall der Würfel B mit 88/216 am häufigsten gewinnt (die anderen beiden A und C nur jeweils mit 64/216).
Im zweiten Fall ergibt sich für den Würfel C' ("tiefster" Würfel) nur ein Wert von 56/216 während die anderen beiden A' und B'
einen Wert von jeweils 80/216 erzielen.
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! Intransitive Trieder (Drei-Flächer) 8. 8.2012
Es gibt drei intransitive Drei-Flächer.
Die Summe aller Augenzahlen ist bei allen 15, auf den insgesammt 9 Flächen kommen alle Zahlen von 1 bis 9 einmal vor.
Sie gewinnen zyklisch mit 5:4 gegeneinander.
F3-1 |
2 |
6 |
7 |
|
15 |
F3-2 |
1 |
5 |
9 |
|
15 |
F3-3 |
3 |
4 |
8 |
|
15 |
Verteilung der Zahlen auf F3-1, F3-2 und F3-3 der Zahlen auf D III, D IV und D V
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
F3-1 |
2 |
6 |
7 |
||||||
F3-2 |
1 |
5 |
9 |
||||||
F3-3 |
3 |
4 |
8 |
P(F3-1 > F3-2) = P(F3-2 > F3-3) = P(F3-3 > F3-1) = 5:4
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! Intransitive Pentaeder (Fünf-Flächer)
Es gibt fünf intransitive Fünf-Flächer. Auf den insgesammt 25 Flächen kommen alle Zahlen von 1 bis 25 einmal vor.
Die Summe aller Augenzahlen ist bei allen 65
F5-1 |
1 |
3 |
18 |
21 |
22 |
|
65 |
F5-2 |
6 |
9 |
14 |
16 |
20 |
|
65 |
F5-3 |
7 |
11 |
13 |
15 |
19 |
|
65 |
F5-4 |
2 |
10 |
12 |
17 |
24 |
|
65 |
F5-5 |
4 |
5 |
8 |
23 |
25 |
|
65 |
Verteilung der Zahlen von F5-1, F5-2, F5-3, F5-4 und F5-5Zahlen auf D III, D IV und D V
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
F5-1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
21 |
22 |
|
|
|
F5-2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
9 |
|
|
|
|
14 |
|
16 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
F5-3 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
11 |
|
13 |
|
15 |
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
F5-4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
12 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
24 |
|
F5-5 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
25 |
P(F5-1 > F5-2) = 14:11
P(F5-2 >F5-3)= P(F5-3 >F5-4)= P(F3-4 > F3-5) = 13:12
P(F5-5 > F5-1) = 16:9
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Intransitive Hexaeder (Würfel)
Efrons-Würfel
Efrons Würfel sind hinlänglich bekannt. Es sind vier intransitive Würfel, die von dem amerikanischen Statistiker Bradley Efron erfunden wurden.
| A | 4 |
4 |
4 |
4 |
0 |
0 |
B |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
C |
6 |
6 |
2 |
2 |
2 |
2 |
D |
5 |
5 |
5 |
1 |
1 |
1 |
Für jeden der Würfel gibt es einen anderen, der ihn mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 besiegt:
P(A>B) = P(B>C) = P(C>D) = P(D>A) = 2/3.
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! Intransitive Eftaeder (Sieben-Flächer) Summe = 175. Auf den insgesammt 49 Flächen kommen alle Zahlen von 1 bis 49 einmal vor.
| F7-1 | 1 | 2 | 3 | 40 | 41 | 42 | 46 |
| F7-2 | 12 | 13 | 14 | 31 | 32 | 35 | 38 |
| F7-3 | 11 | 20 | 21 | 26 | 28 | 30 | 39 |
| F7-4 | 7 | 17 | 23 | 25 | 27 | 33 | 43 |
| F7-5 | 6 | 16 | 22 | 24 | 29 | 34 | 44 |
| F7-6 | 5 | 15 | 18 | 19 | 36 | 37 | 45 |
| F7-7 | 4 | 8 | 9 | 10 | 47 | 48 | 49 |
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! Miwin'sche intransitive Enneaeder (Neun-Flächer) Summe = 369. Auf den insgesammt 81 Flächen kommen alle Zahlen von 1 bis 81 einmal vor.
| MW9-1 | 11 | 13 | 18 | 28 | 33 | 35 | 75 | 77 | 79 |
| MW9-2 | 2 | 4 | 9 | 46 | 51 | 53 | 66 | 68 | 70 |
| MW9-3 | 21 | 23 | 25 | 38 | 40 | 45 | 55 | 60 | 62 |
| MW9-4 | 10 | 15 | 17 | 30 | 32 | 34 | 74 | 76 | 81 |
| MW9-5 | 1 | 6 | 8 | 48 | 50 | 52 | 65 | 67 | 72 |
| MW9-6 | 20 | 22 | 27 | 37 | 42 | 44 | 57 | 59 | 61 |
| MW9-7 | 12 | 14 | 16 | 29 | 31 | 36 | 73 | 78 | 80 |
| MW9-8 | 3 | 5 | 7 | 47 | 49 | 54 | 64 | 69 | 71 |
| MW9-9 | 19 | 24 | 26 | 39 | 41 | 43 | 56 | 58 | 63 |
P(MW9-1 > MW9-2) = P(MW9-2 > MW9-3) = P(MW9-3 > MW9-4) =
P(MW9-4 > MW9-5) = P(MW9-5 > MW9-6) = P(MW9-6 > MW9-7) =
P(MW9-7 > MW9-8) = P(MW9-8 > MW9-9) = P(MW9-9 > MW9-1) = 5:4
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Für weitere Suche bin ich zu faul!
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