| Die Miwin'schen Würfel wurden 1975 in Wien vom Physiker Michael Winkelmann erfunden. Sie bestehen aus einem Satz dreier unterschiedlicher Würfel. Die Summe der Augenzahlen jedes einzelnen beträgt 30, der Mittelwert 5. Gegenüberliegende Augenzahlen der Würfel ergeben in Summe jeweils neun, zehn oder elf. Sie überstreichen den Zahlenbereich von Eins bis Neun. Film | |
| Würfel III | mit den blauen Augen | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 9 | |||
| Würfel IV | mit den roten Augen | 1 | 3 | 4 | 5 | 8 | 9 | |||
| Würfel V | mit den schwarzen Augen | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 8 |
Es liegen jeweils die Zahlen 1 und 9, 2 und 7 sowie 3 und 8 gegenüber. Bei Würfel III sind die Antipoden außerdem 5 und 6, bei Würfel IV 4 und 5 und bei Würfel V 6 und 4.
Die drei Würfel sind derart gestaltet, dass es nach Wahl eines beliebigen Würfels immer einen anderen gibt, der gegen ihn gewinnt: mit einer Wahrscheinlichkeit von 17 : 36 würfelt er eine höhere Augenzahl und mit 16 : 36 eine kleinere Augenzahl. So gewinnt zyklisch III gegen IV, IV gegen V und V wiederum gegen III. Es sind somit intransitive Würfel.
Bemerkung über die Gleichwertigkeit intransitiver Würfel:
Obwohl die drei intransitiven Würfel A, B und C (erstes Würfeltripel)
A |
2 | 2 |
6 | 6 | 7 | 7 |
B |
1 |
1 | 5 | 5 | 9 |
9 |
C |
3 | 3 | 4 |
4 |
8 | 8 |
P(A > B) = P(B > C) = P(C > A) = 5:4
und die drei intransitiven Würfel A', B' und C' (zweites Würfeltripel)
A' |
2 | 2 |
4 | 4 | 9 | 9 |
B' |
1 |
1 | 6 | 6 | 8 |
8 |
C' |
3 | 3 | 5 |
5 |
7 | 7 |
P(A' > B') = P(B' > C') = P(C' > A') = 5:4
jeweils mit der selben Wahrscheinlichkeit gegeneinander gewinnen, so sind sie doch nicht gleichwertig, denn
im ersten Fall (A, B, C) gibt es einen "höchsten" und im zweiten Fall (A', B', C') einen "tiefsten" Würfel.
Werden nämlich alle drei Würfel gleichzeitig gewürfelt und es wird jeweils nur der höchste gewertet, so zeigt sich,
dass im ersten Fall der Würfel B mit 88/216 am häufigsten gewinnt (die anderen beiden A und C nur jeweils mit 64/216).
Im zweiten Fall ergibt sich für den Würfel C' ("tiefster" Würfel) nur ein Wert von 56/216 während die anderen beiden A' und B'
einen Wert von jeweils 80/216 erzielen.
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl mit allen drei Würfeln zu erhalten beträgt 11/36, die für einen bestimmten Pasch 1/36, die für irgend einen beliebigen Pasch 1/4. Die Wahrscheinlichkeit mit nur zwei Miwin'schen Würfeln irgend einen Pasch zu würfeln ist nur halb so groß, wie mit normalen Würfeln, nämlich 1/12.
Summenhäufigkeiten der Miwin’schen Würfel
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| Summenhäufigkeit der Würfel III und V | Summenhäufigkeit der Würfel IV und V | Summenhäufigkeit der Würfel III und IV |
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| Summenhäufigkeit der Würfel IX und X | Summenhäufigkeit der Würfel X und XI | Summenhäufigkeit der Würfel IX und XI |
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| Summenhäufigkeit der Würfel III und IV und V | Summenhäufigkeit der Würfel IX und X und XI |
Mit den Miwin’schen Würfeln können mehrere Gleichverteilungen erzeugt werden, durch Addition einer Konstanten kann der Bereich verschoben werden.
1 – 9 (einmal würfeln) P(1-9) = 1/9| 1. Variante | 2. Variante | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 1.Wurf! 2.) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm: 2.Wurf! Zeigt der erste Wurf eine Neun und der zweite Wurf eine Neun erhalten Sie die Null. Zeigt der erste Wurf eine Neun und der zweite Wurf keine Neun, so ist die Zahl gleich dem 10-fachen des zweiten Wurfes. Zeigt der erste Wurf eine Acht, so ist die Zahl gleich dem 1-fachen des zweiten Wurfes. Sonst ist die Zahl gleich dem 10-fachen des ersten Wurfes plus dem 1-fachen des zweiten Wurfes. |
1.) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 1.Wurf 2.) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm: 2. Wurf Zeigt der erste Wurf eine Neun, so ist die Zahl gleich dem 10-fachen des zweiten Wurfes minus 10. Sonst ist die Zahl gleich dem 10-fachen des ersten Wurfes plus dem 1-fachen des zweiten Wurfes minus 10. |
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Beispiele
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Beispiele
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| 3. Variante | 4. Variante | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 1.Wurf. 2.) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm: 2. Wurf. Sie multiplizieren den ersten Wurf mit 9 und ziehen den 2. Wurf ab: |
1.) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin'schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 1. Wurf. 2.) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin'schen Würfel und würfeln mit ihm: 2. Wurf. Sie erzeugen das Zahlensystem zur Basis 9 in der Form: (1.Wurf - 1) * 9 + (2.Wurf - 1) * 1, das ist maximal: 8 * 9 + 8 * 9° = 72 + 8 = 80 [(1.Wurf - 1) deswegen, damit die Null zum tragen kommt, also die neun Zahlen 0,1,2,3,4,5,6,7,8] |
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Beispiele
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Beispiele
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Das sind 81 Zahlen (0 - 80), jede mit der Wahrscheinlichkeit von (1/9)², 81 = 9²
0 – 90 (dreimal würfeln) P(0-90) = 8/9³ = 8/729
Sie müssen um eine Gleichverteilung der Zahlen von 0 bis 90 zu erhalten, dreimal würfeln:
| 1.Wurf | 2.Wurf | 3.Wurf | Rechnung | Zahl |
|---|---|---|---|---|
| 9 | 9 | nicht 9 | 10 mal 9 | 90 |
| 9 | 1 | nicht 9 | 10 mal 1 | 10 |
| 8 | 4 | nicht 8 | 10 mal 8 + 4 | 84 |
| 1 | 3 | nicht 1 | 10 mal 1 + 3 | 13 |
| 7 | 8 | 7 | aus 78 wird 8 | 8 |
| 4 | 4 | 4 | drei gleiche | 0 |
| 9 | 9 | 9 | Wiederholung | - |
Das sind 91 Zahlen (0 - 90), jede mit der Wahrscheinlichkeit von 8 / 9³, 8 * 91 = 728 = 9³ - 1
0 – 103 (dreimal würfeln) P(0-103) = 7/9³ = 7/729
Das sind 104 Zahlen (0 - 103), jede mit der Wahrscheinlichkeit von 7 / 9³, 7 * 104 = 728 = 9³ - 1 Die Zuordnung ist kompliziert.
0 – 728 (dreimal würfeln) P(0-728) = 1/9³ = 1/729
Das sind 729 Zahlen (0 - 728), jede mit der Wahrscheinlichkeit von 1 / 9³
| 1. Variante : | 2. Variante (alternierend): | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sie wählen zufällig einen der drei Miwin'schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 1. Wurf. Sie wählen zufällig einen der drei Miwin'schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 2. Wurf. Sie wählen zufällig einen der drei Miwin'schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 3. Wurf. Sie erzeugen das Zahlensystem zur Basis 9 in der Form: (1.Wurf - 1) * 81 + (2.Wurf - 1) * 9 + (3.Wurf - 1) * 1, |
Sie wählen zufällig einen der drei Miwin'schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 1. Wurf. Sie wählen zufällig einen der drei Miwin'schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 2. Wurf. Sie wählen zufällig einen der drei Miwin'schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 3. Wurf. Sie multiplizieren den ersten Wurf mit 9² und ziehen den zweiten Wurf multipliziert mit 9 davon ab, dann zählen Sie den dritten Wurf hinzu und ziehen 1 ab, sonst bekommen Sie eine Gleichverteilung von 1 bis 729. Sie erhalten ein Zahlensystem in der Form: |
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Beispiele
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Beispiele
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Das sind 729 Zahlen (0 - 728), jede mit der Wahrscheinlichkeit von 1 / 9³ = 1 / 729 728 = 9³ - 1
| Variante | Gleichung | Anzahl |
|---|---|---|
| Alle drei auf einmal ohne Unterscheidung | - | 135 |
| Alle drei auf einmal mit Unterscheidung | (135 – 6 * 9) * 2 + 54 | 216 |
| Alle drei nacheinander | 6 * 6 * 6 | 216 |
| Zufällig alle drei nacheinander | 6 * 6 * 6 * 6 | 1296 |
| Dreimal einen mit Zurücklegen ohne Farbbeachtung | 9 * 9 * 9 | 729 |
Dreimal einen mit Zurücklegen mit Farbbeachtung:
| Variante | Gleichung | Anzahl |
|---|---|---|
| III, III, III / IV, IV, IV / V, V, V | 3 * 6 * 6 * 6 | 648 |
| III, III, IV / III, III, V / III, IV, IV / III, V, V / IV, IV, V / IV, V, V | 6 * 3 * 216 | + 3888 |
| III, IV, V / III, V, IV / IV, III, V / IV, V, III / V, III, IV / V, IV, III | 6 * 216 | + 1296 |
| = 5832 |
5832 = 2 x 2 x 2 x 9 x 9 x 9 = 18³ Werte können dargestellt werden.
| Würfel IX | mit den gelben Augen | 1 | 3 | 5 | 6 | 7 | 8 | |||
| Würfel X | mit den weißen Augen | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 9 | |||
| Würfel XI | mit den grünen Augen | 2 | 3 | 4 | 5 | 7 | 9 |
 |
 |
Primzahlen mit den Miwin'schen Würfeln
Mit den Miwin'schen Würfeln können mit den vier Grundrechnungsarten mit jedem Wurf eine oder mehrere Primzahlen (von 2 bis 89) erzeugt werden:
1, 1, 2 |
2=2*1*1 |
|
1, 5, 6 |
11=6+5*1 |
|
2, 4, 7 |
13=2+4+7 |
|
3, 5, 9 |
17=3+5+9 |
|
4, 9, 9 |
5=4+9:9 |
1, 1, 3 |
3=2+1*1 |
|
1, 5, 7 |
11=7+5-1 |
|
2, 4, 8 |
2=8-4-2 |
|
3, 6, 6 |
3=3+6-6 |
|
5, 5, 6 |
31=5*5+6 |
1, 1, 4 |
5=4+1*1 |
|
1, 5, 8 |
13=8+5*1 |
|
2, 4, 9 |
17=9+2*4 |
|
3, 6, 7 |
5=7-6:3 |
|
5, 5, 7 |
17=5+5+7 |
1, 1, 6 |
7=6+1*1 |
|
1, 6, 6 |
13=6+6+1 |
|
2, 5, 5 |
3=2+5:5 |
|
3, 6, 8 |
11=8+6-3 |
|
5, 5, 8 |
7=8-5:5 |
1, 1, 7 |
7=7*1*1 |
|
1, 6, 7 |
13=7+6*1 |
|
2, 5, 6 |
13=2+5+6 |
|
3, 6, 9 |
11=9+6:3 |
|
5, 6, 6 |
41=6*6+5 |
1, 1, 8 |
7=8-1*1 |
|
1, 6, 8 |
13=8+6-1 |
|
2, 5, 7 |
17=2*5+7 |
|
3, 7, 7 |
17=3+7+7 |
|
5, 6, 7 |
47=6*7+5 |
1, 2, 2 |
3=2*2-1 |
|
1, 6, 9 |
53=9*6-1 |
|
2, 5, 8 |
11=8+5-2 |
|
3, 7, 8 |
59=8*7+3 |
|
5, 6, 8 |
53=6*8+5 |
1, 2, 3 |
5=3+2*1 |
|
1, 7, 7 |
13=7+7-1 |
|
2, 5, 9 |
47=5*9+2 |
|
3, 7, 9 |
13=9+7-3 |
|
5, 6, 9 |
59=6*9+5 |
1, 2, 4 |
5=4+2-1 |
|
1, 7, 8 |
2=8-7+1 |
|
2, 6, 8 |
11=8+6:2 |
|
3, 8, 9 |
11=8+9:3 |
|
5, 7, 7 |
5=5+7-7 |
1, 2, 5 |
3=5-2*1 |
|
1, 7, 9 |
17=9+7+1 |
|
2, 6, 9 |
17=2+6+9 |
|
3, 9, 9 |
3=3+9-9 |
|
5, 7, 8 |
61=7*8+5 |
1, 2, 6 |
7=6+2-1 |
|
1, 8, 8 |
17=8+8+1 |
|
2, 7, 8 |
17=2+7+8 |
|
4, 4, 5 |
11=4*4-5 |
|
5, 7, 9 |
7=9-7+5 |
1, 2, 7 |
5=7-2*1 |
|
1, 8, 9 |
73=9*8+1 |
|
2, 7, 9 |
61=7*9-1 |
|
4, 4, 6 |
7=6+4:4 |
|
5, 8, 8 |
5=5+8-8 |
1, 2, 8 |
5=8-2-1 |
|
2, 2, 3 |
7=2+2+3 |
|
2, 8, 8 |
2=2+8-8 |
|
4, 4, 7 |
7=7-4+4 |
|
5, 8, 9 |
67=8*9-5 |
1, 2, 9 |
7=9-2*1 |
|
2, 2, 4 |
5=4+2:2 |
|
2, 8, 9 |
19=2+8+9 |
|
4, 4, 9 |
7=4*4-9 |
|
6, 6, 8 |
7=8-6:6 |
1, 3, 3 |
7=3+3+1 |
|
2, 2, 5 |
5=5+2-2 |
|
2, 9, 9 |
83=9*9+2 |
|
4, 5, 5 |
29=5*5+4 |
|
6, 6, 9 |
3=6+6-9 |
1, 3, 4 |
7=4+3*1 |
|
2, 2, 8 |
7=8-2:2 |
|
3, 3, 5 |
11=3+3+5 |
|
4, 5, 6 |
29=6*4+5 |
|
6, 7, 8 |
41=8*6-7 |
1, 3, 5 |
7=5+3-1 |
|
2, 2, 9 |
13=9+2+2 |
|
3, 3, 6 |
7=6+3:3 |
|
4, 5, 7 |
23=7*4-5 |
|
6, 7, 9 |
61=6*9+7 |
1, 3, 6 |
3=6:2+1 |
|
2, 3, 3 |
3=3*2-3 |
|
3, 3, 7 |
13=3+3+7 |
|
4, 5, 8 |
37=8*4+5 |
|
6, 8, 8 |
7=6+8:8 |
1, 3, 7 |
3=7-3-1 |
|
2, 3, 4 |
11=2*4+3 |
|
3, 3, 9 |
3=9-3-3 |
|
4, 5, 9 |
41=5*9-4 |
|
6, 8, 9 |
11=9+8-6 |
1, 3, 8 |
5=8-3*1 |
|
2, 3, 5 |
13=5*2+3 |
|
3, 4, 5 |
19=3*5+4 |
|
4, 6, 6 |
5=4+6:6 |
|
6, 9, 9 |
7=6+9:9 |
1, 3, 9 |
5=9-3-1 |
|
2, 3, 6 |
7=6+3-2 |
|
3, 4, 6 |
13=3+4+6 |
|
4, 6, 7 |
31=4*6+7 |
|
7, 7, 8 |
41=7*7-8 |
1, 4, 4 |
7=4+4-1 |
|
2, 3, 7 |
17=7*2+3 |
|
3, 4, 7 |
31=4*7+3 |
|
4, 6, 8 |
2=6+4-8 |
|
7, 7, 9 |
5=7+7-9 |
1, 4, 5 |
2=5-4+1 |
|
2, 3, 8 |
13=8+3+2 |
|
3, 4, 9 |
31=3*9+4 |
|
4, 6, 9 |
19=4+6+9 |
|
7, 8, 8 |
71=8*8+7 |
1, 4, 6 |
2=6-4*1 |
|
2, 3, 9 |
29=9*3+2 |
|
3, 5, 5 |
13=3+5+5 |
|
4, 7, 7 |
5=4+7:7 |
|
7, 8, 9 |
79=8*9+7 |
1, 4, 7 |
3=7-4*1 |
|
2, 4, 4 |
3=2+4:4 |
|
3, 5, 6 |
23=3*6+5 |
|
4, 7, 8 |
19=4+7+8 |
|
7, 9, 9 |
11=9+9-7 |
1, 4, 8 |
3=8-4-1 |
|
2, 4, 5 |
13=2*4+5 |
|
3, 5, 7 |
5=7+3-5 |
|
4, 7, 9 |
37=4*7+9 |
|
8, 8, 9 |
73=8*8+9 |
1, 4, 9 |
5=9-4*1 |
|
2, 4, 6 |
7=6:2+3 |
|
3, 5, 8 |
43=5*8+3 |
|
4, 8, 9 |
41=8*4+9 |
|
8, 9, 9 |
89=9*9+8 |
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
Dreistellige Primzahlen:
Außerdem können mit einem Wurf folgende dreistelligen Primzahlen gewürfelt werden.
Einige Zahlentripel können durch Vertauschen der Ziffern wiederum Primzahlen sein. Siehe rechts stehende Tabelle. |
Dreistellige Primzahlen mit
85 mehrfache dreistellige Primzahlen sind mit den Miwin'schen Würfeln zu erzielen. |
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| siehe auch Primzahlen |
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7 weitere Sätze Miwin'scher Würfel:
2 Sätze erweiterter Miwin'sche Würfel (MW 531 und MW 642):
ohne doppelte Zahlen,
mit den Wahrscheinlichkeiten von 5:4,
jeder Würfel mit einer Augensumme von 57
| MW 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 15 | 16 |
| MW 3 | 3 | 4 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| MW 1 | 1 | 2 | 9 | 10 | 17 | 18 |
| MW 6 | 5 | 6 | 9 | 10 | 13 | 14 |
| MW 4 | 3 | 4 | 7 | 8 | 17 | 18 |
| MW 2 | 1 | 2 | 11 | 12 | 15 | 16 |
| .....Z.. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| MW 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 15 | 16 | ||||||||||||
| MW 3 | 3 | 4 | 11 | 12 | 13 | 14 | ||||||||||||
| MW 1 | 1 | 2 | 9 | 10 | 17 | 18 |
| MW 6 | 5 | 6 | 9 | 10 | 13 | 14 | ||||||||||||
| MW 4 | 3 | 4 | 7 | 8 | 17 | 18 | ||||||||||||
| MW 2 | 1 | 2 | 11 | 12 | 15 | 16 |
3 Sätze Miwin'sche intransitive Primzahlen-Würfel (MWPz):
ohne doppelte Zahlen,
mit den Wahrscheinlichkeiten von 17:16
| MWPz 1 | 1 | 13 | 37 | 43 | 61 | 67 |
| MWPz 2 | 7 | 13 | 31 | 37 | 61 | 73 |
| MWPz 3 | 1 | 7 | 31 | 43 | 67 | 73 |
| MWPz 4 | 5 | 29 | 59 | 71 | 89 | 101 |
| MWPz 5 | 17 | 29 | 47 | 59 | 89 | 113 |
| MWPz 6 | 5 | 17 | 47 | 71 | 101 | 113 |
| MWPz 7 | 37 | 43 | 67 | 79 | 103 | 109 |
| MWPz 8 | 7 | 37 | 73 | 79 | 103 | 139 |
| MWPz 9 | 7 | 43 | 67 | 73 | 109 | 139 |
1 Satz Miwin'sche Produkt-Würfel (MWPro):
ohne doppelte Zahlen,
mit den Wahrscheinlichkeiten von 17:16
| MWPro 1 | 1 | 2 | 6 | 9 | 12 | 36 |
| MWPro 2 | 1 | 3 | 4 | 6 | 18 | 36 |
| MWPro 3 | 2 | 3 | 4 | 9 | 12 | 18 |
==============================================================
1 Satz Miwin'sche Enneaeder (Neun-Flächer MW9) Summe = 369. Auf den insgesammt 81 Flächen kommen alle Zahlen von 1 bis 81 einmal vor.
|
 |
P(MW9-1 > MW9-2) = P(MW9-2 > MW9-3) = P(MW9-3 > MW9-4) =
P(MW9-4 > MW9-5) = P(MW9-5 > MW9-6) = P(MW9-6 > MW9-7) =
P(MW9-7 > MW9-8) = P(MW9-8 > MW9-9) = P(MW9-9 > MW9-1) = 5:4
| gewinnt | gegen | mit | gegen | mit | |||
| MW9-1 > | MW9-2 | MW9-5 | MW9-8 | P = 5 : 4 | MW9-4 | P = 14 : 13 | |
| MW9-2 > | MW9-3 | MW9-6 | MW9-9 | P = 5 : 4 | MW9-5 | P = 14 : 13 | |
| MW9-3 > | MW9-4 | MW9-7 | MW9-1 | P = 5 : 4 | MW9-6 | P = 14 : 13 | |
| MW9-4 > | MW9-5 | MW9-8 | MW9-2 | P = 5 : 4 | MW9-7 | P = 14 : 13 | |
| MW9-5 > | MW9-6 | MW9-9 | MW9-3 | P = 5 : 4 | MW9-8 | P = 14 : 13 | |
| MW9-6 > | MW9-7 | MW9-1 | MW9-4 | P = 5 : 4 | MW9-9 | P = 14 : 13 | |
| MW9-7 > | MW9-8 | MW9-2 | MW9-5 | P = 5 : 4 | MW9-1 | P = 14 : 13 | |
| MW9-8 > | MW9-9 | MW9-3 | MW9-6 | P = 5 : 4 | MW9-2 | P = 14 : 13 | |
| MW9-9 > | MW9-1 | MW9-4 | MW9-7 | P = 5 : 4 | MW9-3 | P = 14 : 13 | |
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Die Miwin'schen Würfel III, IV, V bilden die Reihen und die Miwin'schen Würfel IX, X, XI bilden die Spalten des Magischen Quadrats:
• Michael Winkelmann: Göttliche Spiele. 1. Aufl., Arquus Verlag, Wien 1994, ISBN 3-901-388-10-9.
• Michael Engel: Die schönsten Spiele für eine Person. Orig.-Ausg., Humboldt, Baden-Baden 2003 (= Humboldt-Paperback, 4044: Freizeit & Hobby), ISBN 3-89994-044-X.
• Michael Winkelmann: Spielerische Mathematik mit Miwin'schen Würfeln. Bildungsverlag Lemberger, Wien 2012, ISBN 978-3-85221-531-0.
• spielbox. Heft 3, Seite 42, Juni 1989
• Spielcasino. Heft 26, Seite 31, Mai 1989
• Spielwiese. Ausgabe 29, Seite 6, Juni 1989
• spielraum. Heft 3, Seite 53, März/April 1989
• Pöppel Revue. Heft 1, Seite 6, 1990
• Spielwiese. Ausgabe 11, Seite 13, 1990
• EINKAUF. Seite 35, 17.3.1993
• Der Standard. Seite 6m 18.12.1994
• WIN-Spiele Magazin 174. Seite 14, 6. 11. 1994
• Bücher News. Nr 45, Seite 46, 1994
• Kurier. Seite 23, 7.5.1995
• EINKAUF. Nr. 37, Seite 4, 16.12.1996
• Die Presse. Seite 22, 28.10.1997
• Der Standard. Seite A 39, 13.12.1999
• U-Express. Seite 15, 9.4.2001